ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ.ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ (1)

1) Να εξετασθεί εάν σε κάθε περίπτωση το V είναι υπόχωρος ή όχι του R³.

i)	V={(a,b,0) : με a , b να ανήκουν στο R}	ii)	V={(a,b,c) : με a + b + c = 0 }
iii)	V={(a,b,c) : με a > 0 }	iv)	V={(a,b,c) : με a²+b²+c² < 1 }

v)	V={(a,b,c) : με a , b , c να ανήκουν στο Q το σύνολο των ρητών αριθμών}

2) Να γραφεί το διάνυσμα (1,-2,5) ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων
    (1,1,1) , (1,2,3) , και (2,-1,1)
3) Να γραφεί το διάνυσμα (2,-5,3) ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων
    (1,-3,2) , (2,-4,-1) , και (1,-5,7)
4) Για ποιά τιμή του k το διάνυσμα (1,-2,k) είναι γραμμικός συνδυασμός των
    διανυσμάτων (3,0,-2) και (2,-1,-5) ;
5) Να δειχθεί ότι τα διανύσματα (1,2,3) , (0,1,2) και (0,0,1) παράγουν τον R³.
6) Να δειχθεί ότι ο χώρος V της άσκησης (1)(i) παράγεται από τα διανύσματα
    (1,2,0) και (0,1,0) καθώς και από τα διανύσματα (2,-1,0) και (1,3,0)

Απαντήσεις

1)
i) Για οιαδήποτε διανύσματα u₁ = (a,b,0) και u₂ = (c,d,0) του V έχουμε ότι το άθροισμα u₁+u₂=(a,b,0)+(c,d,0)=(a+c,b+d,0) ανήκει στο V καθώς και το γινόμενο k(a,b,0)=(ka,kb,0) με έναν πραγματικό αριθμό k ανήκει στο V.Άρα ο V είναι διανυσματικός υπόχωρος του R³.
ii) To (0,0,0) ανήκει στο V διότι 0+0+0=0.
Για οιαδήποτε διανύσματα u₁=(a₁,b₁,c₁) και u₂=(a₂,b₂,c₂) του V έχουμε ότι το άθροισμα u₁+u₂=(a₁,b₁,c₁)+(a₂,b₂,c₂)=(a₁+a₂,b₁+b₂,c₁+c₂) ανήκει στο V διότι a₁+a₂+b₁+b₂+c₁+c₂=0. Επίσης για ένα τυχαίο διάνυσμα u=(a,b,c) του V και k πραγματικό αριθμό έχουμε ότι το k(a,b,c) ανήκει στο V διότι ka+kb+kc=k(a+b+c)=0. Άρα ο V είναι διανυσματικός υπόχωρος του R³.

iii) Το διάνυσμα (1,3,5) ανήκει στο V , το γινόμενό του με τον πραγματικό αριθμό -2 είναι (-2,-6,-10) που όμως δεν ανήκει στο V , επομένως το V δεν είναι υπόχωρος του R³.

iv) Τα διανύσματα (1,0,0) και (0,1,0) ανήκουν στο V το αθροισμά τους (1,1,0) δεν ανήκει στο V διότι 1²+1²+0²=2>1, επομένως το V δεν είναι υπόχωρος του R³.

v) Το διάνυσμα (1,1,1) ανήκει στο V , το γινόμενό του με τον πραγματικό αριθμό

είναι το διάνυσμα (

) που δεν ανήκει στο V , επομένως το V δεν είναι υπόχωρος του R³.

2) Θέλουμε να είναι (1,-2,5)=x(1,1,1)+y(1,2,3)+z(2,-1,1)
Από την παραπάνω διανυσματική εξίσωση προκύπτει το σύστημα
{x+y+2x=1 , x+2y-z=-2 , x+3y+z=5} το οποίο έχει την λύση x=-6 , y=3 , z=2.
Και είναι (1,-2,5)=(-6)(1,1,1)+(3)(1,2,3)+(2)(2,-1,1)

3) Θέλουμε να είναι (2,-5,3)=x(1,-3,2)+y(2,-4,-1)+z(1,-5,7)
Από την παραπάνω διανυσματική εξίσωση προκύπτει το σύστημα
{x+2y+z=2 , -3x-4y-5z=-5 , 2x-y+7z=3} το οποίο όμως δεν έχει λύση διότι ο επαυξημμένος πίνακας του συστήματος σε απλή κλιμακωτή μορφή είναι

και επομένως ο ζητούμενος γραμμικός συνδυασμός δεν υπάρχει.

4) Θέλουμε να είναι (1,-2,k)=x(3,0,-2)+y(2,-1,-5)
Από την παραπάνω διανυσματική εξίσωση προκύπτει το σύστημα
{ 3x+2y=1 , -y=-2 , -2x-5y=k }. Από τις δύο πρώτες εξισώσεις έχουμε x=-1 , y=2 , και από την τρίτη με αντικατάσταση έχουμε k=-8

5) Θα πρέπει το τυχαίο διάνυσμα (a,b,c) του R³ να μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός των (1,2,3) , (0,1,2) και (0,0,1). Θέλουμε να είναι :
(a,b,c) = x(1,2,3)+y(0,1,2)+z(0,0,1) = (x,2x+y,3x+2y+z). Το σύστημα αυτό έχει την λύση x=a , y=b-2a , z=c-2b+a που σημαίνει ότι τα διανύσματα (1,2,3) , (0,1,2) και (0,0,1)παράγουν τον R³

6) Θα πρέπει το τυχαίο διάνυσμα του V={(a,b,0) : με a , b να ανήκουν στο R} να εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός των (1,2,0) και (0,1,0) καθώς και ως γραμμικός συνδυασμός των (2,-1,0) και (1,3,0).
Από την (a,b,0)=x(1,2,0)+y(0,1,0)=(x,2x+y,0) έχουμε το σύστημα {x=a , 2x+y=b , 0=0 } που έχει την λύση x=a , y=b-2a. Επομένως τα (1,2,0) και (0,1,0) παράγουν το V.
Από την (a,b,0)=x(2,-1,0)+y(1,3,0)=(2x+y,-x+3y,0) έχουμε το σύστημα
{ 2x+y=a , -x+3y=b , 0=0 } που έχει την λύση x=(3a-b)/7 , y=(a+2b)/7

Eπιστροφή