ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ 2

Eπιστροφή

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ (2)

1) Δίνεται η τετραγωνική μορφή : Q = 2xy + 2xz - 2yz.
a) Να βρεθεί ο αντίστοιχος συμμετρικός πίνακας Α της Q.
b) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του Α.
c) Να βρεθούν τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα.
d) Να βρεθεί η αλλαγή καρτεσιανών συντεταγμένων που διαγωνοποιεί την Q.
Απάντηση :
O πίνακας, η εξίσωση από την οποία προκύπτουν οι ιδιοτιμές, και οι ιδιοτιμές είναι :
Για να ικανοποιείται η (Ε) αρκεί να δώσουμε τυχαίες τιμές στα y , z και να προσδιορισθεί η αντίστοιχη τιμή του x. Εδώ έχουμε μια διπλή ρίζα ( λ₁ = λ₂ = 1 ) και θα πρέπει να προσδιορίσουμε δύο ορθογώνια ιδιοδιανύσματα.
Επομένως θα πρέπει να βρούμε από την ( Ε ) δύο λύσεις ορθογώνιες μεταξύ τους. Ως γνωστόν κάθε λύση της ( Ε ) θα είναι ορθογώνια προς το ιδιοδιάνυσμα που προκύπτει από την ιδιοτιμή λ₃ = -2. (Που προκύπτει με την ίδια διαδικασία έστω το (1,-1,-1)).
Αν σαν μια λύση της ( Ε ) πάρουμε την (1,1,0) μια δεύτερη λύση της θα έχει την μορφή (h+k , h , k) για να ικανοποιεί την ( E ) και επιπλέον θα είναι (h+k)1 + h1 + k*0 = 0 για να είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. Με h = -1 έχουμε k = 2 οπότε δεύτερη λύση παίρνουμε (1 , -1 , 2).
Τρία ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στις τρεις ιδοτιμές 1,1,-2 είναι: Αυτά αποτελούν βάση την οποία μετατρέπουμε σε ορθοκανονική, και σχηματίζουμε τον πίνακα Ρ που θα τα έχει ως στήλες του. Aν αντικαταστήσουμε τα (x,y,z) στη Q , προκύπτει η διαγώνια μορφή της Q η οποία ήταν ήδη γνωστή από την στιγμή που βρήκαμε τις ιδιοτιμές.
Q = X² + Y² - 2 Z²
2) Δίνεται η τετραγωνική μορφή : Q = 2x² + 2y² + z² - 2xz + 2yz.
a) Να βρεθεί ο αντίστοιχος συμμετρικός πίνακας Α της Q.
b) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του Α.
c) Να βρεθούν τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα.
d) Να βρεθεί η αλλαγή καρτεσιανών συντεταγμένων που διαγωνοποιεί την Q.
Απάντηση :
Eργαζόμενοι όπως και προηγουμένως έχουμε
Aν αντικαταστήσουμε τα (x,y,z) στη Q , προκύπτει η διαγώνια μορφή της Q η οποία ήταν ήδη γνωστή από την στιγμή που βρήκαμε τις ιδιοτιμές.
Q = 2X² + 3Y²
3) Να διαπιστωθεί ότι ο παρακάτω πίνακας είναι θετικά ημιορισμένος και να βρεθεί η τετραγωνική του ρίζα καθώς και η 10η δύναμή του.
Απάντηση :
Eργαζόμενοι όπως και προηγουμένως βρίσκουμε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα που είναι : Περισσότερα στην παράγραφο 9 σελίς 196 του βιβλίου.
Eπιστροφή