Eπιστροφή

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ (1)

1) Να βρεθούν οι συμμετρικοί πίνακες που ορίζουν τις παρακάτω τετραγωνικές μορφές :

Q = 4x2 + 4y2 + 7z2 + 6xy + 12yz + 4zx,

   

Q = 8x2 + 8y2 + 10z2 + 8xy + 4yz + 4zx,

Q = 2x2 + 3y2 + 2z2 + 14xy + 14yz + 16zx,

   

Q = 6x2 + 8y2 + 8z2 + 6xy + 10yz + 6zx,

Q = 8x2 + 4y2 + 8z2 + 20xy + 20yz + 12zx,

   

Q = 5x2 + 5y2 + 6z2 + 18xy + 16yz + 16zx,

Q = - x2 + 5y2 - z2 - 10xy + 10yz - 2zx,

   

Q = - 6x2 + y2 + z2 - 10xy - 4yz - 10zx,

Απάντηση :
Οι πίνακες που ακολουθούν δεν είναι με την σειρά που δίνονται οι τετραγωνικές μορφές.
2) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές των παραπάνω πινάκων.
Απάντηση :
Οι ιδιοτιμές που ακολουθούν δεν είναι με την σειρά που δίνονται οι πίνακες.

{ 4, 8 , 14 } , {-4 , -6 , 17 } , {2 , -6 , 24 } , { 3 , 4 , 15 } ,
{-1 , 3 , 13 } , { -2 , -4 , 22 } , {3 , 4 , -11 } , {-2 , -5 , 10 }
3) Δίνεται η τετραγωνική μορφή : Q = 2x2 +3y2 - 2z2 + 12xy + 8xz + 4yz.
a) Να βρεθεί ο αντίστοιχος συμμετρικός πίνακας Α της Q.
b) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του Α.
c) Να βρεθούν τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα.
d) Να βρεθεί η αλλαγή καρτεσιανών συντεταγμένων που διαγωνοποιεί την Q.
Απάντηση :
O πίνακας, η εξίσωση από την οποία προκύπτουν οι ιδιοτιμές, και οι ιδιοτιμές είναι :
Τα τρία ιδιοδιανύσματα αποτελούν μια βάση από την οποία σχηματίζεται ορθοκανονική βάση αν διαιρέσουμε το καθένα με το μέτρο του.
Και έχουμε τον ορθογώνιο πίνακα Ρ που σχηματίζεται έχοντας ως στήλες του τα μοναδιαία ιδιοδιανύσματα που βρήκαμε. Η αλλαγή συντεταγμένων από τις (x,y,z) στις (Χ,Υ,Ζ) γίνεται μέ τον πίνακα Ρ .
Aν αντικαταστήσουμε τα (x,y,z) στη Q , προκύπτει η διαγώνια μορφή της Q η οποία ήταν ήδη γνωστή από την στιγμή που βρήκαμε τις ιδιοτιμές.
Q = -2X2 - 5Y2 + 10 Z2
Eπιστροφή