AΛΛΑΓΗ ΒΑΣΗΣ - ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

1) Στο χώρο ² θεωρούμε την νέα βάση ₁ : (1,-1) , ₂ : (2,1).
Nα βρεθεί ο πίνακας αλλαγής βάσης, καθώς και οι νέες συντεταγμένες των σημείων
Ρ₁ : (2,1), Ρ₂ : (-1,0), Ρ₃ : (0,0), Ρ₄ : (x,y) Aπάντηση
O πίνακας αλλαγής είναι Ρ = (2,1) (0,1) ,     (-1,0) (-1/3 , -1/3)
(0,0) (0,0) ,     (x,y) ( (x-2y)/3 , (x+y)/3 )

---

2) Nα βρεθεί σε κάθε περίπτωση η νέα βάση, αν οι νέες συντταγμένες (x*, y*) συνδέονται με τις κανονικές (x , y) με τις σχέσεις :

a) x* = -x + y     y* = x

b) x = x* + 2y*     y = x*- y*

c) x +y + x* - y* = 0           2x + x*     = 0

Aπάντηση
a) { (0,1) , (1,1) } ,     b) { (1,1) , (2,-1) } ,     c) { (-1/2 , -1/2 ) , (0 , 1) }.

---

3) Στο χώρο ³ να βρεθεί στις νέες συντεταγμένες ( x* , y* , z* ) που ορίζονται από τη νέα βάση ₁ = - , ₂ = + + , ₃ = , η εξίσωση του επιπέδου x + y + z = 1.
Aπάντηση
Η εξίσωση του επιπέδου στις νέες συντεταγμένες είναι 3y* + z* = 1.

---

4) Να βρεθεί ο πίνακας αλλαγής βάσης, καθώς και η σχέση μεταξύ των παλιών και των νέων συντεταγμένων, όταν η παλιά και η νέα βάση είναι αντίστοιχα :

α)	1 : (1,-1) , 2 : (0,2)	1 : (0,-1) , 2 : (2,3)
β)	1 : (1,1,1) , 2 : (-1,2,1) , 3 : (0,1,3)	1 : (1,0,0) , 2 : (0,1,1) , 3 : (1,1,2)

Aπάντηση

---

5) Να βρεθεί ένας ορθογώνιος πίνακας με πρώτη γραμμή :        Aπάντηση Να σημειωθεί ότι οι παραπάνω πίνακες δεν είναι μοναδικοί.

---

6) Να δειχτεί ότι είναι ορθογώνιοι οι αντίστροφοι των ορθογωνίων πινάκων.
Aπάντηση
Έστω Α ορθογώνιος πίνακας, τότε είναι Α^-1 = Α^Τ.(Α^Τ)^Τ = (Α^-1)^Τ = Α και (Α^-1)^ΤΑ^-1 = ΑΑ^-1 = Ι που σημαίνει ότι ο πίνακας Α^-1 είναι ορθογώνιος.

---

Eπιστροφή