1.Λύστε την εξίσωση διαφορών:

x_n = x_n-1 + 9x_n-2 – 9x_n-3 , με x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2          

Απάντηση:

x_n = 3x_n-2 + 2x_n-3 , όταν χ₀ =1, χ₁ = 0, χ₂ =0      

x_n = 8x_n-1 – 16x_n-2, όταν χ₀ = -1, χ₁ = 0.       

α) x_n – 7x_n-1 + 10x_n-2 = 3ⁿ , όταν χ₀ = 0, χ₁ = 1        

β) x_n + 6x_n-1 + 9x_n-2 = 3 , όταν x₀ = 0, x₁ =1       

γ) x_n – 3x_n-1 + 2x_n-2 = 2ⁿ , όταν x₀ = 1, x₁ = 1      

δ) x_n – 4x_n-1 + 4x_n-2 = 2ⁿ , όταν x₀ = 1, x₁ = 2.          

x_n + x_n-1 + x_n-2 = 0 , όταν χ₀ = 0, χ₁ = 2        

6. (Πύργοι του Hanoi). Υπάρχουν n κυκλικοί δίσκοι διαφορετικών ακτίνων, καθένας εκ των οποίων έχει μία τρύπα στο κέντρο και 3 στύλοι (έστω Α, Β, Γ) τοποθετημένοι κατακόρυφα σε ένα τραπέζι, έτσι ώστε η απόσταση μεταξύ τους ανά δύο να είναι μεγαλύτερη από τη διάμετρο του δίσκου με τη μεγαλύτερη ακτίνα. Αρχικά όλοι οι δίσκοι είναι «περασμένοι» στον πρώτο στύλο Α κατά φθίνουσα σειρά ακτίνας με τον δίσκο που έχει την μεγαλύτερη ακτίνα στη βάση του στύλου. Αποδεκτή κίνηση είναι η κίνηση ενός δίσκου που βρίσκεται στην κορυφή ενός στύλου προς τη κορυφή ενός άλλου στύλου, αρκεί στην κορυφή του στύλου προς τον οποίο θα γίνει η μετακίνηση να βρίσκεται δίσκος με ακτίνα μεγαλύτερη αυτής του δίσκου που μετακινείται. (Δεν επιτρέπεται μικρότερος δίσκος να βρεθεί «κάτω» από μεγαλύτερο δίσκο). Αν χ_n είναι ο αριθμός των μετακινήσεων που απαιτούνται για να μετακινηθούν n δίσκοι από τον στύλο Α σε άλλο στύλο, βρείτε την αναδρομική σχέση για τις x_n μετακινήσεις και λύστε την αντίστοιχη εξίσωση διαφορών.

7. Εστω x_n ο αριθμός των ακολουθιών (λέξεων), που αποτελούνται από n γράμματα και σχηματίζονται από τα γράμματα Α, Β, Γ, έτσι ώστε όπου εμφανίζεται το γράμμα Α και δεν είναι τελευταίο να ακολουθείται από το γράμμα Β. Βρείτε την αναδρομική σχέση για τον αριθμό x_n και λύστε την αντίστοιχη εξίσωση διαφορών.       

8. Αποδείξτε ότι το σύνολο X_n = {1, 2, 3,…, n} έχει ακριβώς x_n+1 υποσύνολα (συμπεριλαμβανομένου και του κενού συνόλου), που δεν περιέχουν δύο διαδοχικούς ακεραίους. ( χ_n+1 είναι ο n+1- όρος της ακολουθίας Fibonacci με χ₀ = 1 και χ₁ =1).

9. Αποδείξτε ότι αριθμός Fibonacci x_n είναι άρτιος αν και μόνο αν n = 3k + 2, για κ φυσικό αριθμό.

12. Εστω η ακολουθία 0, 1, 1/2, 3/4, 5/8, … στην οποία κάθε όρος χ_n (εκτός των δύο πρώτων) προκύπτει ως μέσος όρος των δύο προηγουμένων όρων. Βρείτε μια αναδρομική σχέση, που δίνει τον x_n όρο της ακολουθίας και λύστε την αντίστοιχη εξίσωση διαφορών.      

Απάντηση: 

13. Ενα κινητό ξεκινά από τη θέση Ο και κινείται ευθύγραμμα προς μια συγκεκριμένη κατεύθυνση. Επειτα από ένα λεπτό έχει διανύσει 4 μέτρα. Το διάστημα που διανύει το κινητό κατά την διάρκεια του n-οστού λεπτού είναι διπλάσιο του διαστήματος που έχει διανύσει το κινητό κατά την διάρκεια του n-1–οστού λεπτού. Βρείτε την απόσταση d_n (από την αρχή Ο) που έχει διανύσει το κινητό μετά από n λεπτά.           

Απάντηση: